Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）若为曲线，的公共点，求直线的斜率；

（Ⅱ）若分别为曲线，上的动点，当取最大值时，求的面积．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）消去参数α得曲线的普通方程，将曲线化为直角坐标方程，两式作差得直线AB的方程，则直线AB的斜率可求；（Ⅱ）由方程可知曲线是以（1，0）为圆心，半径为1的圆，由方程可知曲线是以（0，2）为圆心，半径为2的圆，又，可知当|AB|取最大值时，圆心在直线AB上，进一步求出直线AB（即直线）的方程，再求出O到直线AB的距离，则△AOB的面积可求

试题解析：（Ⅰ）消去参数得曲线的普通方程．（1）

将曲线化为直角坐标方程得．（2）

由得，即为直线的方程，故直线的斜率为．

（Ⅱ）由知曲线是以为圆心，半径为1的圆；

由

知曲线是以为圆心，半径为2的圆．

因为，

所以当取最大值时，圆心在直线上，

所以直线（即直线）的方程为：．

因为到直线的距离为，

又此时，

所以的面积为．

考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程