Question

设椭圆的右焦点为，右顶点为，且，（其中为原点，为椭圆的离心率.

（1）求椭圆方程；

（2）若过点的直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？如果有，求出点的坐标及相应定值；如果没有，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，.

【解析】

试题分析：（1）由得，即，结合及，可求出的值；（2）设，．设直线的方程为：（存在）联立，得：，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积结合已知条件推导出存在，使得．

试题解析：（1）由题意:则有

化简后得,又

故. 所以椭圆方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，

则, 若存在定点满足条件，则有

如果要上式为定值，则必须有

验证当直线斜率不存在时，也符合.

故存在点满足.

考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与圆锥曲线的综合问题.

【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量的数量积的合理运用．第一问中通过把已知条件中的等式转化为之间的关系，联立出方程组可得解；第二问属于开放性问题，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，首先考虑斜率存在时，设出点斜式，联立方程组，运用韦达定理以及向量数量积的概念，运用整体代换的思想得到在一般情况下的存在性，最后验证在一般情况下，当斜率不存在时也成立.