Question

已知两圆，的圆心分别为c₁，c₂，，P为一个动点，且.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得C₁C＝C₁D?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）不存在满足题意的直线l，使得C1C＝C1D.

【解析】

试题分析：（1）写出两圆的圆心坐标，根据∵||+||= ＞2=| |可知动点P的轨迹是以和为焦点、长轴长为2a= 的椭圆，从而易求椭圆方程即所求轨迹方程；（2）当斜率不存在时容易判断，当存在斜率时，设直线l的方程为y=k（x-2），联立直线l方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则有△＞0，设交点C ，D ，CD的中点为N ，求出二次方程的两解，从而可得线段CD中点N的横坐标，代入直线方程可得纵坐标，要使C1C＝C1D，必须有⊥l，即，解出方程的解k，再检验是否满足△＞0即可

试题解析：（1）两圆的圆心坐标分别为C1（1，0），C2(－1，0).

因为，

所以根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心、C1C2为焦点、长轴长为的椭圆，且，c＝1，

所以椭圆的方程为，即动点P的轨迹M的方程为.

（2）当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，此时直线l不存在.

故直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为

由得 ①

依题意，有，解得

当时，设交点C(x1，y1)，D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），则，所以.

要使C1C＝C1D必须C1N⊥l，即，所以，

即－1＝0，矛盾.

所以不存在直线l，使得C1C＝C1D.

综上所述，不存在满足题意的直线l，使得C1C＝C1D.

考点：直线与圆锥曲线的关系；圆与圆的位置关系及其判定