Question

已知函数，x∈R，若方程恰有4个互异实数根，则实数a的取值范围______________.

Answer

【解析】

试题分析：由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，

作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x-1|的图象，

当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，

则a＞0，此时

当-3＜x＜0时，f（x）=- -3x，g（x）=-a（x-1），

当直线和抛物线相切时，有三个零点，

此时- -3x=-a（x-1），

即+（3-a）x+a=0，

则由△= -4a=0，即-10a+9=0，解得a=1或a=9，

当a=9时，g（x）=-9（x-1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，

要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，

若a＞1，此时g（x）=-a（x-1）与f（x），有两个交点，

此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，

即+3x=a（x-1），整理得+（3-a）x+a=0，

则由△=-4a＞0，即-10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，

综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），

考点：根的存在性及根的个数判断