Question

如图：已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点.

（1）求证：MN∥面PAB；

（2）若平面PMC⊥面PAD，求证：CM⊥AD.

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）取BC中点E，连结ME、NE，由已知推导出平面PAB∥平面MNE，由此能证明MN∥平面PAB．

（2）利用面面垂直的性质，由平面PMC⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，可证CM⊥平面PAD，由AD⊂平面PAD，即可证明CM⊥AD

试题解析：（1）取PB的中点E，连接EA，EN，

在△PBC中，EN//BC且，

又，AD//BC，AD＝BC

所以EN//AM，，EN＝AM.

所以四边形ENMA是平行四边形，

所以MN//AE. 又，，

所以MN//平面PAB.

（2）过点A作PM的垂线，垂足为H，

因为平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，

所以AH⊥平面PMC，又

所以AH⊥CM.

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CM.

因为PA∩AH＝A，

所以CM⊥平面PAD.

又所以CM⊥AD.

考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定