Question

已知函数，.

（Ⅰ）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；

（Ⅱ）当时，函数在区间上存在极值，求的最大值.

（参考数值:自然对数的底数≈）.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）3

【解析】

试题分析：（1）函数f（x）在其定义域上为增函数⇔f'（x）≥0，即+2x+a≥0对x∈（0，+∞）都成立．通过分离参数a，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）当a=1时，．由于函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，可知：方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，

即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．再利用导数研究其单调性、函数的零点即可

试题解析：（1）解法1：函数的定义域为，

，.

函数在上单调递增，

，即对都成立.

对都成立.

当时，，当且仅当,即时，取等号.

，即，的取值范围为.……6分

解法2：函数的定义域为，

，.

方程的判别式.

①当，即时，，

此时，对都成立,

故函数在定义域上是增函数.

②当，即或时，要使函数在定义域上为增函数，

只需对都成立.

设,则，得.

故.

综合①②得的取值范围为

（2）当时，.

.

函数在上存在极值，

∴方程在上有解,

即方程在上有解.

令，由于，则，

函数在上单调递减.

，，

函数的零点.

方程在上有解，，.

，的最大值为.

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性