Question

椭圆C：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，A,B为椭圆C上的两点，O为坐标原点，设直线OA,OB,AB的斜率分别为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当时，求k的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）依题意有，结合，解得，椭圆方程为；（2）设点直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系.由得，化简上式得，根据，解得范围.

试题解析：

（1）由于，

又过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，所以将代入椭圆方程，，即：

椭圆C的方程为：

（2）设点直线AB的方程为

由，消去y得

由得：，即

将代入得

所以：

联立得

解得k的取值范围为

考点：直线与椭圆的位置关系.

【方法点晴】经过椭圆焦点并且垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的弦长为，这个称为通径，可以作为一个结论来应用.在双曲线中，同样也有通径长为.题目中，给了一个等量条件，这些量，都可以利用联立直线的方程和椭圆的方程后，用根与系数关系写出来，把所有数据代入后，就可以求得的范围.设而不求的思想在圆锥曲线中是非常常见的的应用.