Question

已知函数

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若对任意的，都存在使得不等式成立，求实数的取值范围。

Answer

（Ⅰ）的单调增区间和，单调减区间；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意，对函数求导得，解不等式，求得增区间；解不等式，求得减区间，即可得到结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得；对已知进行转化，转化为：对不等式，即 恒成立，记，通过求导判断函数的单调性，判断在内递增，从而得，又，再次转化为恒成立，即，从而得到取值范围.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）

令得：或

当或时，

∴的单调增区间为：和

当时，

∴的单调减区间为

（Ⅱ）∵ ∴

由（Ⅰ）知在上单调递增

∴

∵存在，使成立

∴对于，不等式都成立

即恒成立

记 ∵

∴

∴在内单调递增

∴ 即

∴，即的取值范围是

考点：利用导数研究函数的单调性、不等式.