Question

设函数．

（Ⅰ）若函数在其定义域上为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，设函数，若在上存在使成立，求实数的取值范围．

Answer

（1） （2）

【解析】

试题分析：（1）由在其定义域上为增函数，可先求导，由增区间则，建立关于的不等式，运用均值不等式，可得。

（2）由在给定的区间，存在使成立，可先化f（x）max≥g（x）min成立，可运用导数分别求两个函数在区间上的最值，使上式成立，而的最值需对进行分类讨论，综合可得。

试题解析：（Ⅰ）因为函数f（x）在其定义域上为增函数，即f′（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，

所以1＋－≥0恒成立，即a≤x＋

又x＋≥2 ＝2（当且仅当x＝1时取等号） ，故a的取值范围为（－∞，2]

（Ⅱ）由在[1，e]上存在x1，x2使f（x1）≥g（x2）成立，

可知当x∈[1，e]时，f（x）max≥g（x）min．

又因g′（x）＝1－，所以当x∈[1，e]时，g′（x）≥0，

即函数g（x）在区间[1，e]上是单调递增的函数， 最小值为g（1）＝1－ln 1－＝1－

由（1）知f′（x）＝，因为x2>0，

又函数y＝x2－ax＋1的判别式Δ＝（－a）2－4×1×1＝a2－4，

（ⅰ）当a∈[－2,2]时，Δ≤0，则f′（x）≥0恒成立，

即函数f（x）在区间[1，e]上是单调递增的函数，

故函数f（x）在区间[1，e]上的最大值为f（e）＝e－－a，

故有f（e）≥g（1），即e－－a≥1－，解得a≤e－1．

又a∈[－2,2]，所以a∈[－2，e－1]；

（ⅱ）当a＜－2时，Δ>0，f′（x）＝0的两根为x1＝，x2＝，

此时x1＜0，x2＜0．故函数f（x）在区间[1，e]上是单调递增的函数．

由（ⅰ）知，a≤e－1，又a＜－2，故a＜－2．

综上所述，a的取值范围为（－∞，e－1]

考点：1．运用导数求单调性与均值不等式。 （2）存在性问题与最值思想及分类思想．