Question

函数f（x）＝ax³－6ax²＋3bx＋b，其图象在x＝2处的切线方程为3x＋y－11＝0．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数y＝f（x）的图象与y＝f′（x）＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围；

Answer

（1）；（2）－16＜m＜

【解析】

试题分析：（1）由题已知点x＝2处的切线方程3x＋y－11＝0，可获得两个条件；即：点

再函数的图像上，再由该点处的导数为切线斜率。可得两个方程，求出的值

（2）由（1）已知函数的解析式，由条件y＝f（x）的图象与y＝f′（x）＋5x＋m的图象有三个不同的交点，可建立函数g（x）＝x3－7x2＋8x－m，化为该函数与x轴由三个交点，进而化为它的极值问题，即只需，极大值大于零，极小值小于零，可解出实数m的取值范围。

试题解析：（1）由题意得f′（x）＝3ax2－12ax＋3b，∵f′（2）＝－3且f（2）＝5，

∴即解得a＝1，b＝3，

∴f（x）＝x3－6x2＋9x＋3

（2）由f（x）＝x3－6x2＋9x＋3可得，f′（x）＝3x2－12x＋9，

f′（x）＋5x＋m＝（3x2－12x＋9）＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m，

则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，

即g（x）＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点，

g′（x）＝3x2－14x＋8＝（3x－2）（x－4），则g（x），g′（x）的变化情况如下表．

4

（4，＋∞）

g′（x）

＋

0

－

0

＋

g（x）



极大值



极小值

 

则函数f（x）的极大值为g＝－m，极小值为g（4）＝－16－m

y＝f（x）的图象与y＝f′（x）＋5x＋m的图象有三个不同交点，

则有解得－16＜m＜

考点：（1）导数的几何意义及方程思想。 （2）函数的零点与极值问题。