Question

如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD₁A₁；

（Ⅱ）若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为，求k的值．

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】

试题分析：（1）本题为证线与面垂直，通常运用线与面垂直的判定，转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直。结合题目条件AA1⊥底面ABCD，再可找出CD⊥AD，而得证．

（2）由题为已知线面角的正弦值，求参数k的值，可考虑建立空间坐标系，然后利用线面角的关系建立关于k的方程，可求．

试题解析：（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE．

∵AB∥DE，ABDE3k，∴四边形ABED为平行四边形，

∴BE∥AD且BEAD4k．

在△BCE中，∵BE4k，CE3k，BC5k，∴BE2＋CE2BC2，

∴∠BEC90°，即BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴AA1⊥CD．又AA1∩ADA，

ADD1A1．

（Ⅱ）以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则

所以，，．

设平面AB1C的法向量n（x，y，z），

则由得，取y2，得．

设AA1与平面AB1C所成角为θ，则

sin θ|cos〈，n〉|，

解得k1，故所求k的值为1．

【考点】（1）空间中线与面的垂直证明。 （2）线面角及空间向量的运算及方程思想。