Question

设函数．

（Ⅰ）若是函数的极值点，和是函数的两个不同零点，且，，求；

（Ⅱ）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用极值的定义进行分析和推证；（Ⅱ）借助题设条件运用导数的知识分类求解.

试题解析:

（Ⅰ），是函数的极值点，．

是函数的零点，得，由解得，．

，，

令，，得；

令得，所以在上单调递减；在上单调递增

故函数至多有两个零点，其中，，

因为，

，所以，故．

（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，

根据题意，对任意，都存在，使得成立，则

在上有解，

令，只需存在使得即可，

由于，令，，，

在上单调递增，，

①当，即时，，即，在上单调递增，

，不符合题意．

②当，即时，，

若，则，所以在上恒成立，即恒成立，

在上单调递减，存在，使得，符合题意．

若，则，在上一定存在实数，使得，

在上恒成立，即恒成立，在上单调递减，

存在，使得，符合题意．

综上所述，当时，对任意，都存在，使得成立

考点：导数在研究函数的单调性及最值中的综合运用．

【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方）,其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的.如本题的第一问中就是这样操作的,再如本题第二问的求解过程则是将不等式的证明问题转化为构造函数,然后再运用分析转化的思维方式进行推证.