Question

如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度的平方和宽度

的乘积成正比，与它的长度的平方成反比．

（Ⅰ）在的条件下，将此枕木翻转（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？

（Ⅱ）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？

Answer

（Ⅰ）变大；（Ⅱ）当宽，高时，安全负荷最大.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直接运用已知条件求解即可；（Ⅱ）借助题设条件运用导数进行求解.

试题解析:

（Ⅰ）设安全负荷为（），

翻转后（），

可得：，

当时，，此时枕木的安全负荷变大．

（Ⅱ）设截取的宽为（），高为，，

其长度及为定值，安全负荷为

令，

此时，由，得

由，可得，在递增，在递减

所以当宽时，取得最大值，此时高，

所以，当宽，高时，安全负荷最大

考点：不等式、函数的知识和导数的知识的综合运用．

【易错点晴】数学中的实际应用问题是高考常考题型之一,应用题具有篇幅长信息容量大,阅读时要仔细认真弄清楚文字中的含义,深刻领会文字符号中的真正含义和即时定义中的内涵和外延是解决问题的关键.一般来见解答好实际应用问题需要处理好以下四个步骤:（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题．认真阅读题目，弄清题目条件与图形元素间的对应关系，也是审题过程中不可缺少的环节.