Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当四边形面积取最大值时，求的值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用离心率和直线与圆相切以及的关系进行求解；（2）设，联立直线与椭圆方程，得到的横坐标，求出点到直线的距离，得到四边形面积关于的表达式，再利用基本不等式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）由题意知：＝ ，．

又圆与直线相切， ，，

故所求椭圆的方程为．

（Ⅱ）设，其中，

将代入椭圆的方程整理得：，

故．①

又点到直线的距离分别为，

，

所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号，所以当四边形面积的最大值时，．

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式．