Question

已知正三角形边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为            .

Answer

【解析】

试题分析：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱的中，底面边长为，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱的外接球的球心为，外接球的半径为，球心到底面的距离为，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：

∴球的半径为．外接球的表面积为：．

考点：1.球内接多面体；2.球的体积和表面积．

【思路点睛】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，三棱锥的三条侧棱，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．