Question

如图，正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为平面，平面，所以，在正方形中，，又因为，所以平面， 再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（Ⅱ）在平面内，过作，由（Ⅰ）知平面，所以，所以，又平面，所以两两垂直．以，，分别为轴，建立空间直角坐标系，然后再利用空间向量即可求出结果.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）因为平面，平面，所以， 2分

在正方形中，，又因为，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面

（Ⅱ）在平面内，过作，

由（Ⅰ）知平面，所以，

所以，又平面，所以两两垂直．

以，，分别为轴，

建立空间直角坐标系如图所示，

因为，所以，又，所以，

所以，，，，

所以平面的法向量为，

设平面的法向量为，

，，

所以由，得，令，则， 10分

所以，

设二面角为，所以．

考点：1.线面垂直的判定定理；2.面面垂直的判定定理；3，,空间向量；4.二面角.

【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为，设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图1）或 （图2）其中.