Question

已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（x，y）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=2|PA|．

（I）求动点P的轨迹方程C；

（Ⅱ）求线段PQ长的最小值；

（Ⅲ）若以P为圆心所做的⊙P与⊙O有公共点，试求P半径取最小值时的P点坐标．（12分）

Answer

（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（I）圆的切线垂直于过切点的半径可得，由勾股定理得；由已知．可得；利用两点间的距离公式列出关系式，化简即可得动点P的轨迹方程C为；（Ⅱ）将动点P的轨迹方程C为化为标准形式，可得圆心C和半径，由此可得的长度，则点A在圆内，可得，即可得线段PQ长的最小值为；（Ⅲ）以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切得情形，而半径的最小值为直线OC与圆C相交的交点即为所求.先求得直线OC的方程，代入圆C的方程，检验即可求得交点坐标为.

试题解析：

【解析】
（I）连接OQ，∵切点为Q，，由勾股定理可得．

由已知．可得，即x2+y2﹣1=4（x﹣2）2+4（y﹣1）2．

化简可得．

（Ⅱ）方程，可化为（x﹣）2+（y﹣）2=，

圆心C（，），半径为，

∵|CA|==，

∴，

∴线段PQ长的最小值为；

（Ⅲ）⊙P半径取最小值时，直线OC与圆C相交的交点为所求，

直线OC的方程为，代入，可得15x2﹣80x+84=0，

∴x=，

∴P半径取最小值时，．

考点：圆的标准方程；两点间的距离公式；圆的切线方程.