Question

如图1，在边长为4的正方形中，、分别为、的中点，沿将矩形折起使得二面角的大小为（如图2），点是的中点．

（1）若为棱上一点，且，求证：平面；

（2）求二面角的余弦值

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：(1)解法一：利用同互余角三角函数关系证明垂直；解法二：建立空间坐标系，利用向量法证明直线垂直即可得到结论；（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解.

试题解析：

解法一（几何法）：

（1）证明：

在矩形中，，，

由得：

又由勾股定理得：，

所以：，

所以：，即：

为正方形，二面角为直二面角，、为中点

所以：面； 所以：

故有：，所以，面

解法二（坐标法）（略）

（2）以F为坐标原点，分别以FD,FC,FE为x,y,z轴，如图所示构建空间直角坐标系，则：

，，，

，，

设面EFG的法向量为，面BFG的法向量为，则有：

，

即：，

故可取：，

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法.