Question

A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：

A班	6    6.5    7     7.5      8
B班	6    7      8     9      10    11    12
C班	3    4.5     6    7.5      9    10.5   12     13.5

（Ⅰ）试估计C班的学生人数；

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明）

Answer

（Ⅰ）40；（Ⅱ）；（III）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据图表，结合分层抽样的抽样比计算C班的学生人数；

（Ⅱ）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由相互独立事件概率公式求解.

（Ⅲ）根据平均数公式进行判断即可.

试题解析：（Ⅰ）由题意知，抽出的名学生中，来自C班的学生有名.根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为.

（Ⅱ）设事件为“甲是现有样本中A班的第个人”，，

事件为“乙是现有样本中C班的第个人”，，

由题意可知，，；，.

,,.

设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，

.

因此

.

（Ⅲ）.

【考点】分层抽样、相互独立事件的概率、平均数

【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便.