Question

选修4−4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .

（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

Answer

（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普通方程，利用公式与将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式，最后求出最值与相应点的坐标即可．

试题解析：（Ⅰ）的普通方程为.的直角坐标方程为.

（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为.因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

【考点】椭圆的参数方程，直线的极坐标方程．

【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解．