Question

选修4−1：几何证明选讲

如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点.

（Ⅰ）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据条件可证明，结合，不难求得的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知四点共圆，然后根据线段的垂直平分线知为过四点的圆的圆心，则可知在线段的垂直平分线上，由此可证明OG⊥CD．

试题解析：（Ⅰ）连结，则：.

因为，所以，又，所以.

又，

所以， 因此.

（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此.

【考点】圆周角定理，三角形的外角，垂直平分线定理，四点共圆．

【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等．