Question

设函数，其中α＞0，记的最大值为A.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明当.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）直接求解；（Ⅱ）分两种情况，结合三角函数的有界性求出，但须注意当时还须进一步分两种情况求解；（Ⅲ）首先由（Ⅰ）得到，然后分，三种情况证明.

试题解析：（Ⅰ）.

（Ⅱ）当时，

.

因此.

当时，将变形为．

令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．

令，解得（舍去），．

（Ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．

（Ⅱ）当时，由，知．又

，所以．

综上，

（Ⅲ）由（Ⅰ）得.

当时，.

当时，，所以.

当时，，所以.

【考点】导数的计算，倍角公式，三角函数的有界性．

【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；（2）结合自变量的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解．