Question

选修41：几何证明选讲

如图，OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心， OA为半径作圆.

（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；

（Ⅱ）点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设是的中点，证明；（Ⅱ） 设是四点所在圆的圆心，作直线，证明，．由此可证明．

试题解析：（Ⅰ）设是的中点，连结，

因为，所以，．

在中，，即到直线的距离等于⊙的半径，所以直线与⊙相切．

（Ⅱ）因为，所以不是四点所在圆的圆心，设是四点所在圆的圆心，作直线．

由已知得在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以．

同理可证，．所以．

【考点】四点共圆、直线与圆的位置关系及证明

【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好长度关系与角度关系的转化,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.