Question

如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．

（Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC；

（Ⅱ）求二面角EBCA的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明平面，结合平面，可得平面平面．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量求解.

试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，所以平面．

又平面，故平面平面．

（Ⅱ）过作，垂足为，由（Ⅰ）知平面．

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．

由（Ⅰ）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．

由已知，，所以平面．

又平面平面，故，．

由，可得平面，所以为二面角的平面角，

．从而可得．

所以，，，．

设是平面的法向量，则

，即，

所以可取．

设是平面的法向量，则，

同理可取．则．

故二面角EBCA的余弦值为．

【考点】垂直问题的证明及空间向量的应用

【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量法解决.