Question

已知，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点（1,0）作直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；

（3）设为曲线在第一象限内的一点，曲线在处的切线与轴分别交于点，求面积的最小值．

Answer

（1）；（2）或；（3）2．

【解析】

试题分析：（1）通过椭圆的定义即得结论；（2）易得当直线的斜率不存在不合题意；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，并联立椭圆方程，利用韦达定理结合向量的坐标运算求得直线的斜率，从而求得直线方程；（3）设切线的方程为（），并联立椭圆方程，根据判别为0，得到的关系式，然后利用面积公式结合基本不等式求得面积的最小值．

试题解析：（1）由题可知，轨迹是以为焦点的椭圆，

∵动点满足，∴，即，

∴，

∴动点的轨迹的方程为．

（2）解法1 当直线的斜率不存在时，,，不合题意；

当直线的斜率存在时，设直线，代入曲线的方程得：

，

设，则：

=，

故所求的直线的方程为或；

解法2 当直线为轴时，， 不合题意；

当直线不为轴时，设过的直线：，代入曲线的方程得

设，则

故所求的直线的方程为或；

（3）设切线（），代入曲线的方程得：

，

由得，，

又有,所以，

当时取“=”，所以面积的最小值是2.

考点：1、椭圆的定义及方程；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量的坐标运算．

【方法点睛】求圆锥曲线中的向量的数量积主要有两种方法：（1）根据条件求出所涉及到的向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式求解；（2）根据条件确定所涉及到的两个向量 的模及它们的夹角，然后利用向量数量积的非坐标形式求解．