Question

已知，函数．

（Ⅰ）若在处取得极值，求函数的单调区间；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值．

Answer

（Ⅰ）函数的单调增区间是，单调减区间是；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当时，求函数的导数，然后令导数等于，从而得：，可得，，可得，即可求出函数的单调区间；（Ⅱ） ，，分类讨论分，，三种情况，分别求最值．

试题解析：（Ⅰ）=ln（﹣x）+a，

由题意知x=﹣e时，=0，即：=1+a=0，∴a=﹣1

∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，=ln（﹣x）﹣1

令=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e

令=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e

令=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0

∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函数，在（﹣e，0）上是减函数，

（Ⅱ）=ln（﹣x）+a，∵x∈， ∴﹣x∈， ∴ln（﹣x）∈，

①若a≥1，则=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此时f（x）在上是增函数，

fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1

②若a≤﹣2，则=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此时f（x）在上是减函数，

fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2

③若﹣2＜a＜1，则令=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a

∴当时＞0，

当时＜0

∴f（x）在上递增,在上递减，

∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，

综上：

考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、利用导数求函数最值．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、分类讨论的思想和方法，属于难题．利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．本题可以通过分类讨论，知函数在所求区间上增或者减，或者先增后减，从而求出最大值．