Question

已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，，．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据抛物线得焦点，椭圆短轴的两个端点与构成正三角形可得，从而求出椭圆方程；（Ⅱ）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时，利用直线与圆锥曲线的位置关系，得，表示出，，运算其数量积，化简即可得出，当斜率不存在时，用斜率存在时的结论检验下即可．

试题解析：（Ⅰ）由题意知抛物线的焦点，∴

又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形，∴b=1，

∴椭圆的方程为

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为：y=k（x﹣1）

代入椭圆方程，消去y，可得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，

∵，

∴=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2=

==

==

当，即时，为定值

当直线l的斜率不存在时，，

由可得，，∴

综上所述，当时，为定值．

考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系．

【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于难题．解决本类问题时先根据条件求出椭圆的标准方程是基础，然后先讨论直线斜率存在时情况，利用直线与圆锥曲线的位置关系，得到两点横坐标之和与积，利用向量数量积公式可求出含有关系的式子，通过变形化简知当公式及点在椭圆上表示出所求，再根据椭圆的范围求得时为定值．