Question

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）如果是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由边长条件知，又底面，可得,从而易证平面；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设，求平面的法向量，利用线面角的正弦值建立关于的方程，得，从而．

试题解析：（Ⅰ）连结AC，

∵在△ABC中，AB=AC=2，，

∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，

∵AB∥CD，∴AC⊥CD，

又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，

∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC；

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），

∵N是在棱AB上一点，

∴设N（x，0，0），=（﹣x，2，0），．

设直线CN与平面MAB所成角为α，

因为平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），

∴，

解得x=1，即AN=1，NB=1，

∴=1

考点：1、线面垂直；2、线面角．

【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、线面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．解题时一定要注意线面角是锐角或直角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线等．利用向量证明时可先设动点坐标，最后利用条件解方程确定其位置．