已知直线
，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程
．
（1）求曲线
的直角坐标方程；
（2）设点
的直角坐标为
，直线
与曲线
的交点为
，求
的值．
如图，过圆
外一点
作圆
的两条切线
，其中
为切点，
为圆
的一条直径，连
并延长交
的延长线于点
．
（1）证明：
；
（2）若
，求
的值．
已知函数
在其定义域内有两个不同的极值点．
（1）求
的取值范围；
（2）记两个极值点分别为
，且
，已知
，若不等式
恒成立，求
的范围．
设椭圆
的左、右焦点分别是
，下顶点为
，线段
的中点为
（
为坐标原点），如图，若抛物线
与
轴的交点为
，且经过
点．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
为若抛物线
上的一动点，过点
作抛物线
的切线交椭圆
于
两点，求
面积的最大值．
如图，棱形
与正三角形
的边长均为2，它们所在平面互相垂直，
，且
．
（1）求证：
；
（2）若
，求二面角
的余弦值．
甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如下面的茎叶图所示.
（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从统计学角度，你认为派哪位学生参加更合适，请说明理由；
（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为
，求
的分布列及数学期望
.
