Question

已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．

（1）求的取值范围；

（2）记两个极值点分别为，且，已知，若不等式恒成立，求的范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）．由题意得在内有两个不等的实根，转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点，数形结合找到函数函数的切线的斜率即可；（2）对不等式两边同时取自然对数得，又分别是方程的两个根，进一步可转化为，又由，作差得，，从而最终转化为恒成立．利用换元法令，则不等式在上恒成立，设，求函数在区间上的最大值即可．

试题解析：转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点，如图可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须，令切点，所以，又，所以，解得，于是，所以。

（2）等价于，由（1）可知分别是方程的两个根，即，，所以原式等价于，因为，，所以原式等价于，

又由，作差得，，即，所以原式等价于

因为，原式恒成立，即恒成立，令，则不等式在上恒成立，令，又

当时，可见时，，所以在上单调递增，又，在恒成立，符合题意

当时，可见时，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去

综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以。

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数研究函数的极值；3.不等式的恒成立．

【一题多解】本题主要考查的是利用导数研究函数的性质，属于难题．第一问的另一种解法：转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点，，即时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，从而，又有且只有一个零点是，且在时，，在时，，所以的草图如下，可见，要想函数与函数的图象在上有两个不同的交点，只须．