Question

设椭圆的左、右焦点分别是，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图，若抛物线与轴的交点为，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为若抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于两点，求面积的最大值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题意得：，则．再根据抛物线与轴的交点为，且经过点，令可得确定椭圆方程；（2）设，利用导数确定直线的方程为：，与椭圆的方程联立，根据弦长公式用表示出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而把的面积用表示，根据二次函数最值求解．

试题解析：（1）由题意可知，则，故

令得即，则，故，所以

于是椭圆的方程为

（2）设，由于知直线的方程为：即

代入椭圆方程整理得：，

故

设点到直线的距离为，则

所以，的面积

当时取到“”，经检验此时，满足题意

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.二次函数最值；4.三角形的面积公式．