Question

已知首项为的正项数列满足，．

（1）若，，，求的取值范围；

（2）设数列是公比为的等比数列，为数列前项的和．若，，求的取值范围；

（3）若，，，（）成等差数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应数列，，，的公差．

Answer

（1）；（2）；（3）最小值，此时.

【解析】

试题分析：（1）借助递推关系及不等式即可得到答案；（2）运用等比数列的通项及前项和及推理论证的知识求解即可；（3）运用等差数列的有关知识及题设条件，再通过解不等式和分析推证即可。

试题解析：（1）由题意得：，

所以，，解得．

（2）由题意得，，且数列是等比数列，，

，，．

又，当时，不满足题意．

当时，，

①当时，，，解得；

②当时，，，无解．．

（3），且数列，，，成等差数列，．

，，，，．

，．

又，，

，，解得，，

所以的最小值为，此时公差为．

考点：数列的通项公式及解不等式、等比数列的通项公式、前项和及运用所学知识分析问题解决问题的能力，运算求解能力及推理论证能力、等差数列的通项公式及前项和及运用所学知识分析问题解决问题的能力，运算求解能力及推理论证能力.

【易错点晴】数列与推理证明相结合进行命制数学试题是江苏专家命题一大特色.这类问题常常以数列为载体，考查的是学生的推理论证能力和运算求解能力.本题在解答时充分借助数列的通项公式的递推关系，先建立不等式，再解不等式进行合理的推理论证从而使问题逐一获解.本题对等比数列的通项公式、前项和及等差数列的通项公式、前项和等基本公式及运用所学知识分析问题解决问题的能力的要求较高.特别是运算求解能力及推理论证能力、及运用所学知识分析问题解决问题的能力是本题要考查的重点.