Question

设函数（为实常数，是自然对数的底数）．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若函数在区间内存在三个极值点，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先运用导数研究函数的单调性，再结合函数的图象求其最值；（2）先借助导数分类求出其极值点，再划分区间求其范围即可获解；

试题解析：【解析】
（1）由函数（），

可得．

因为当时，．理由如下：

要使时，，只要，设，，

于是当时，；当时，．

即在处取得最小值，即时，，

所以．

于是当时，；当时，．

所以函数在上为减函数，上为增函数．

所以在处取得最小值．

（2）因为，

当时，，所以在上单调递减，上单调递增，不存在

三个极值点，所以．

又，令，得，

易知在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，

得，且．

于是可得与在内有两个不同的交点的条件是．

设与在内有两个不同交点的横坐标分别为，，则有

，下面列表分析导函数及原函数：

可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以在区间上存在三个极值点．

即函数在内存在三个极值点的的取值范围是．

考点：导数在研究函数的单调性及求最值方面的运用、灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力、运算求解能力和推理论证能力.