Question

以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为(1，－5)，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆C以为圆心、8为半径．

（1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程；

（2）若直线和圆C相交于点A、B，求的值．

Answer

（1）直线： (为参数)，圆：；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由直线经过点及倾斜角，结合直线的标准参数方程可得直线的标准参数方程为 (为参数)，在圆上任取一点，则由余弦定理可得，化简得；（2）由（1）得圆的直角坐标方程，由于直线与圆相交于、，将代入圆的方程，得，结合直线参数方程中参数的几何意义，可知=，故.

试题解析：（1）由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tan，此方程可化为＝，令＝＝ (为参数)，

得直线l的参数方程为 (为参数)

如图，设圆上任意一点为Q(ρ，θ)，则在△QOM中，由余弦定理，得QM2＝QO2＋OM2－2QOOMcos∠QOM，

∴82＝ρ2＋82－2×8ρcos.

化简得ρ＝16sin θ，即为圆C的极坐标方程．

（2）由（1）可进一步得出圆C的直角坐标方程是

将直线l的参数方程代入上式有

设点A、B对应的参数分别为，则.

故==106.

考点：极坐标与参数方程的互化、直线参数的几何意义.