Question

已知函数，，且曲线与轴切于原点.

（1）求实数，的值；

（2）若恒成立，求的值.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）将不等式作进一步化简，可得，分类讨论，构造函数，求导研究其单调性即可得到，和是方程的两根，从而求解.

试题解析：（1）

∴，又∵，∴，；

（2）不等式，

即，或，

令，，，

当时，；当时，，

∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，∴，

即，∴在上单调递增，而，

∴；，

∴当或时，，同理可得，当时，.

∴由恒成立可知，，和是方程的两根，

∴，，∴.

考点：导数的综合运用．

【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．