Question

已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.

（1）求点的坐标；

（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得的坐标；（2）将直线的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.

试题解析：（1）∵椭圆过点，，

∴，计算得，，∴椭圆的方程为.

∵的面积，∴，∴，代入椭圆方程.

∵，∴，∴；（2）法一：设直线的方程为，，，

直线的方程为，可得，即，

直线的方程为，可得，即.

联立，消去，整理，得.

由，可得，，，

∴为定值，且.

法二：设，，，，直线，，的斜率分别为，，，由，得，，可得，，，

，

由，令，得，即，

同理得，即，则

∴为定值，该定值为.

考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．

【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.