Question

已知矩形，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据条件可证明平面，利用线面垂直的性质即可得证；（2）通过三垂线定理作出二面角的平面角，或者建立空间直角坐标系利用空间向量求解.

试题解析：（1）∵，是的中点，∴，是等腰直角三角形，

，即，又∵平面平面，平面平面，

∴平面，∴；

（2）法一：设是线段的中点，

过点作，垂足为，连接，，如图，则，

∵平面平面，∴平面，∴是在平面上的射影，

由三垂线定理，得，∴是二面角的平面角，

在中，，，

，∴二面角的余弦值为.

法二：如图，以，为轴、轴，过点且垂直于平面的射线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

易知平面的一个法向量为；

设平面的一个法向量为，

，，

则，即，取，得，∴，

∴二面角的余弦值为.

考点：1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解．