Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，其图像关于轴对称且经过点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；

（3）过点作抛物线的两条弦，设所在直线的斜率分别为，当时，试证明直线的斜率为定值，并求出该定值.

Answer

(1)；（2）；（2），证明详见解析.

【解析】

试题分析：(1)根据对称轴和点的位置，设抛物线方程为，代入点的坐标，得到抛物线方程；（2）设，根据,可得到与关于轴对称，这样得到点的横坐标和纵坐标的关系，代入抛物线方程后，得到点的坐标，并计算面积；（3）设,，，用坐标表示，再表示直线的斜率，得到定值.

试题解析：（1）设抛物线的方程为，

由点在抛物线上，得，则.

∴抛物线的方程为.

（2）设该等边三角形的顶点在抛物线上，且，

则，，

由，得，即.

又，则，，即线段关于轴对称.

∴，，代入，得.

∴该等边三角形边长为，.

（3）设，则，，

∴.

∴，

又.

考点：1.抛物线方程和几何性质；2.直线与抛物线的位置关系.