Question

已知为抛物线上一点，点到直线的距离为.

（1）求的最小值，并求此时点的坐标；

（2）若点到抛物线的准线的距离为，求的最小值.

Answer

（1）当时，；（2）.

【解析】

试题分析：(1)表示点到直线的距离，表示为坐标的函数，求函数的最小值，以及点的坐标，（2）将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，根据图像分析，的最小值就是点到直线的距离.

试题解析：（1）设，

则，

当时，，此时，

∴当时，.

（2）设抛物线的焦点为，则，且，

∴，

它的最小值为点到直线的距离.

∴.

考点：抛物线的几何性质

【方法点睛】主要考察了抛物线内的距离的最值，属于基础题型，当涉及直线上的点到抛物线距离的最小值问题，法一，设点的坐标，代入点到直线的距离，转化为关于坐标的函数，根据函数特点求最值，法二，设与已知直线平行的直线，当直线与抛物线相切时，这时切点到直线的距离最小，所以可以令直线方程与抛物线方程联立，令，求出参数，即切线方程，再求切点；若是到的距离的最小值，可以写成，设切点坐标，利用切点处的导数就是在这点处的切线的斜率，求切点坐标，对于第二问的最值问题，可以根据抛物线的几何意义转化，将到抛物线准线的距离转化为到焦点的距离.