Question

已知椭圆的一个焦点为，且经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，直线与椭圆交于两点，且；

（ⅰ）若，求直线的方程；

（ⅱ）求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）（ⅰ）或，或.；（ⅱ）.

【解析】

试题分析：（1）根据焦点的位置设出椭圆方程，并且，然后代入点的坐标，解出和；（2）（ⅰ）当直线垂直于轴时，与椭圆交于两点；根据等腰直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，得到直线方程，当直线不垂直于轴时，再就是设直线与椭圆方程联立，得到韦达定理，根据,,和斜率的中线于斜边垂直，解得直线方程；（ⅱ）由上一问可得直线是过定点的直线，所以设直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，将面积表示为，代入韦达定理，可得关于的函数，通过换元，令，化简函数后求函数的最大值.

试题解析：（1）设椭圆为：，

∵椭圆过点，且一个焦点为，

∴，解得.

∴椭圆的标准方程为.

（2）（Ⅰ）当轴时，设，

代入椭圆得，

∵，解得（舍去）或，

∴直线方程为.

当与轴不垂直时，设直线的方程为.

由，得.

，得.

设，线段的中点为.

则，，所以，，

由，得，则，化简得（*）.

由，得，

∴，

化简得.

∴，

化简得，解得或.

当时，（*）式不成立.

当时，代入（*）式，得，.

∴直线的方程为或.

综上所述，直线的方程为或，或.

（Ⅱ）当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知，时，或.

当时，直线为过点，矛盾，故舍去.

当时，直线为，

当轴时，直线的方程为，

∴直线过定点.

设直线方程为，代入椭圆，

化简得：，

则，，

∴，

令，则，且，

∴，

∴当，即，直线的方程为时，.

所以的最大值为.

考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.