Question

函数．

（I）当时，求函数的单调区间；

（II）若是的极大值点.

（i）当时，求的取值范围；

（ii）当为定值时，设是的3个极值点，问：是否存在实数，可找到使得的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的的值及相应的；若不存在，说明理由.

Answer

(I)递增区间为，递减区间为；（II）（i）；（ii）当时，；当，；当，.

【解析】

试题分析：(I)先将代入求导，再 分别解不等式，可得正【解析】
（II）（i）将代入并求导得，令由得有两个根，不妨设，然后对有一个为零、或、三种情况进行讨论；（ii）先求导得，设，由得有两个根，不妨设，又因为是的极大值点，可得的三个极值点分别为，且，然后对 是否成等差数列两类情况进行讨论，其中成等差又分为或两种情况.

试题解析：（I）当时，

当单调递减；

当单调递增；

当单调递减；

当单调递增

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为

（II）（i）当时，，

令

故有两个根，不妨设

当有一个为零时，不是的极值点，故均不为0；

当或时，是的极小值点，不合题意；

当时，是的极大值点，即，

（ii）

设，

故有两个根，不妨设，又因为是的极大值点，所以的三个极值点分别为，且

其中

①若，即也即时有：或

所以

或

②若不成等差数列，则需或

当时，，于是，即

故时，，

此时，

同理当时，，

综上所述：当时，

当，

当，

考点：1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的极值；3、等差数列的性质.

【思路点晴】本题主要考查的是利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、等差数列的性质,灵活性强，综合程度高，属于难题. 本题要求在熟练掌握利用导数研究函数的性质方法的前提下，要具备一定程度的分类讨论、数学结合、转化化归等思想.其中（II）（i）主要难点时对的取值分三种情况进行讨论；（ii）主要是先对是否成等差数列两类情况进行讨论，还要对成等差这类情况又分为或两种情况进行讨论.