Question

在长方体中，、分别是棱、上的动点，如图, 当的长度取得最小值时，二面角的余弦值的取值范围为（   ）

A．             B．            C．             D．

Answer

B

【解析】

试题分析：设，则,设，则，，，则，设，则的几何意义是的距离，则当三点共线时，的长度取得最小值，此时，得，即是的中点，建立以为坐标原点，,,分别为轴的空间直角坐标系如图，则,,设，，则，，则平面的法向量为，设平面的法向量为，当时，二面角的为直二面角，此时二面角的余弦值为，当时，由，则，即，令，则，即，设面角的余弦值，则，因为，所以为减函数，则当时，函数取得最大值，故二面角的余弦值的取值范围为,故选B.

考点：二面角的平面角及求法.

【思路点晴】本题主要考查二面角的求解，综合性较强，难度较大.根据的长度取得最小值时，利用求出的几何意义是的距离,其中，得到是的中点，建立坐标系求出平面的法向量,向量法求出二面角的取值范围是解决本题的关键,再结合函数的单调性进行求解即可．