Question

为了响应政府“节能、降耗、减排、增效”的号召，某工厂决定转产节能灯，现有A、B两种型号节能灯的生产线.在这两种生产线的大量产品中各随机抽取100个进行质量评估，经检测，综合得分情况如下面的频率分布直方图：

产品级别划分以及利润率如右表，其中；将频率视为概率.

（Ⅰ）在A型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法抽取10个，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率是多少？

（Ⅱ）从长期来看，投资哪种型号的节能灯的平均利润率较大？

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，投资型号的节能灯的平均利润率较大，时，投资型号的节能灯的平均利润率较大，时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图确定这件产中一级品个，二级品个，利用古典概率及其概率的计算公式，即可求出至少个一级品的概率；（Ⅱ）设投资两种型号节能灯的利润率分别为，得出利润的分布列，分别求解期望，即可比较期望的大小得到结论.

试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品的频率为，二级品的频率为，三级品的频率为0

在A型节能灯中按产品级别用分层抽样的方法随机抽取10个，其中一级品6个，二级品4个

设在这节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品为事件，恰好有个一级品为事件，则，

因为事件为互斥事件，所以，

即，在这10个节能灯中随机抽取3个，至少有2个一级品的概率为

（Ⅱ）设投资A、B两种型号节能灯的利润率分别为、，

由频率分布直方图知，A型节能灯中，一级品、二级品、三级品的概率分别为、，0

B型号节能灯中一级品、二级品、三级品的概率分别为、、

所以、的分布列分别是：

则、的期望分别是：

，

所以，

因为，所以从长期看

当时，投资B型号的节能灯的平均利润率较大

时，投资A型号的节能灯的平均利润率较大

时，投资两种型号的节能灯的平均利润率相等

考点：频率分布直方图；离散型随机变量的分布列及期望.

【方法点晴】本题主要考查了频率分布直方图的应用，古典概型及其概率的计算，离散型随机变量的分布列及期望，同时考查了随机变量的期望的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中由频率分布直方图确定这件产中一级品个，二级品个，利用古典概率及其概率的计算公式，即可求出至少个一级品的概率，同时得出利润的分布列，分别求解期望，即可作出比较.