Question

某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交元的管理费，预计当每件商品的售价为元时，一年的销售量为万件.

（1）求该连锁分店一年的利润（万元）与每件商品的售价的函数关系式；

（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润最大，并求出的最大值.

Answer

（1）；（2）当时，；当时，.

【解析】

试题分析：（1）根据条件建立利润（万元）与每件商品的售价的函数关系，即可得到函数的解析式； （2）求出，确定函数的单调性，分类讨论求解的最大值.

试题解析：（1）由题得该连锁分店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为

；

（2）

令，得

①当，即时，，在上单调递减，

故

②当，即时，上单调递增；在上单调递减

故

考点：导数在实际问题中的优化.

【方法点晴】本题主要考查了以实际问题为背景，利用导数研究函数的单调性及利用导数求解函数的极值与最值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能及分类讨论数学思想的应用，试题运算量大，有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据条件建立利润（万元）与每件商品的售价的函数关系，求出，确定函数的单调性，分类讨论求解的最大值.