Question

设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．

（I）解不等式f（x）＞0；

（II）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

Answer

(I)；（II）．

【解析】

试题分析：（I）分类讨论，当时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集；（II）利用绝对值的性质，求出的最小值为，故．

试题解析：（I）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得 x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．

当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．

当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立

综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．

（II）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当或时等号成立，

所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故 m＜9．

考点：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．