Question

如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

（I）求证：C是劣弧BD的中点；

（II）求证：BF=FG．

Answer

（I）证明见解析；（II）证明见解析．

【解析】

试题分析：（I）要证明是劣弧的中点，即证明弧与弧相等，即证明，根据已知中，是圆的直径，于，我们易根据同角的余角相等，得到结论；（II）由已知及（I）的结论，我们易证明及均为等腰三角形，即，，进而得到结论．

试题解析：（I）∵CF=FG

∴∠CGF=∠FCG

∴AB圆O的直径

∴

∵CE⊥AB

∴

∵，

∴∠CBA=∠ACE

∵∠CGF=∠DGA

∴，∴

∴∠CAB=∠DAC

∴C为劣弧BD的中点

（II）∵，

∴∠GBC=∠FCB

∴CF=FB

同理可证：CF=GF

∴BF=FG

考点：与圆有关的比例线段．

【方法点晴】本题考查的知识点是圆周角定理及其推论，与圆有关的比例线段，同角的余角相等，其中根据是圆的直径，于，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．（I）要证明是劣弧的中点，即证明弧相等，即证明弧所对应的圆周角相等．这类题型一定要注意充分应用平面几何的结论，才能使题目变得简便．