Question

已知函数f(x)＝e^x(ax＋b)－x²－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

Answer

（1），；（2）在，上单调递增，在上单调递减，极大值为．

【解析】

试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值．

试题解析：（1）．

由已知得，．

故，．

从而，．

（2）由（1）知，，

．

令得，或．

从而当时，；

当时，．

故在，上单调递增，在上单调递减．

当时，函数取得极大值，极大值为．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．