Question

一个圆柱形圆木的底面半径为1，长为10，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：）.

（1）求关于的函数表达式；

（2）求的值，使体积最大；

（3）问当木梁的体积最大时，其表面积是否也最大？请说明理由.

Answer

（1），；（2）时，体积最大；（3）当木梁的体积最大时，其表面积也最大.

【解析】

试题分析：（1）求出梯形ABCD的面积，可求V关于θ的函数表达式；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求θ的值，使体积V最大；（3）求出木梁的侧面积，可得表面积，求出的最大值，即可得出结论.

试题解析：（1）梯形的面积

，

体积，.

（2）

令，得，或（舍）

∵，∴.

当时，，，为增函数；

当时，，，为减函数.

∴当时，体积最大.

（3）当木梁的侧面积，

，，

设，，∵，

∴当，即，最大.

又由（2）知时，取得最大值，

所以时，木梁的表面积最大.

综上，当木梁的体积最大时，其表面积也最大.

考点：数模型的建立

【方法点睛】三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．