Question

已知函数（）.

（1）求的单调区间；

（2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer

（1）①当时，；②当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论a的取值，得到函数的单调区间；（2）先确定g（x）的取值范围，求出最大值，将问题转化为较简单的恒成立问题，再由单调性求a的取值范围．

试题解析：（1）（）

①当时，由于，故，

，所以的单调递增区间为

②当时，由，得

在区间上，，在区间上，，所以函数的单调递增区间为，

单调递减区间为；

（2）由题意得，而，

由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，所以，解得，

故的取值范围为.

考点：利用导数求闭区间上最值；利用导数研究函数的性质.

【方法点睛】求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．