Question

已知函数.

（Ⅰ）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若，且对任意，都有，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当时在上是减函数，当时在上是增函数，在上是减函数（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义：在处的导数值等于切线斜率即可求实数a和b的值；（Ⅱ）由原函数求得导函数，通过对的取值范围的讨论得到函数的单调区间；（Ⅲ）结合不等式的特点将其构造函数，通过考察函数的最值得到的取值范围

试题解析：（1） 求导得在处的切线方程为，，得 ；b=-4.

（2）

当时，在恒成立，所以在上是减函数，

当时，（舍负）

，

在上是增函数，在上是减函数；

（3） 若，在上是减函数，，

即

即，只要满足在为减函数，，即在恒成立，，，所以

考点：导数的几何意义；导数求单调性最值；不等式与函数的转化